Algèbre linéaire Exemples

$[\begin{array}{c} 1 & x & x^{2} \\ 1 & x^{2} & x^{4} \\ 1 & x^{4} & x^{6} \end{array}]$

Étape 1

Choose the row or column with the most $0$ elements. If there are no $0$ elements choose any row or column. Multiply every element in column $2$ by its cofactor and add.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.1

Consider the corresponding sign chart.

$| \begin{array}{c} + & - & + \\ - & + & - \\ + & - & + \end{array} |$

Étape 1.2

The cofactor is the minor with the sign changed if the indices match a $-$ position on the sign chart.

Étape 1.3

The minor for $a_{12}$ is the determinant with row $1$ and column $2$ deleted.

$| \begin{array}{c} 1 & x^{4} \\ 1 & x^{6} \end{array} |$

Étape 1.4

Multiply element $a_{12}$ by its cofactor.

$- x | \begin{array}{c} 1 & x^{4} \\ 1 & x^{6} \end{array} |$

Étape 1.5

The minor for $a_{22}$ is the determinant with row $2$ and column $2$ deleted.

$| \begin{array}{c} 1 & x^{2} \\ 1 & x^{6} \end{array} |$

Étape 1.6

Multiply element $a_{22}$ by its cofactor.

$x^{2} | \begin{array}{c} 1 & x^{2} \\ 1 & x^{6} \end{array} |$

Étape 1.7

The minor for $a_{32}$ is the determinant with row $3$ and column $2$ deleted.

$| \begin{array}{c} 1 & x^{2} \\ 1 & x^{4} \end{array} |$

Étape 1.8

Multiply element $a_{32}$ by its cofactor.

$- x^{4} | \begin{array}{c} 1 & x^{2} \\ 1 & x^{4} \end{array} |$

Étape 1.9

Add the terms together.

$- x | \begin{array}{c} 1 & x^{4} \\ 1 & x^{6} \end{array} | + x^{2} | \begin{array}{c} 1 & x^{2} \\ 1 & x^{6} \end{array} | - x^{4} | \begin{array}{c} 1 & x^{2} \\ 1 & x^{4} \end{array} |$

Étape 2

Évaluez $| \begin{array}{c} 1 & x^{4} \\ 1 & x^{6} \end{array} |$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.1

Le déterminant d’une matrice $2 \times 2$ peut être déterminé en utilisant la formule $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

$- x (1 x^{6} - x^{4}) + x^{2} | \begin{array}{c} 1 & x^{2} \\ 1 & x^{6} \end{array} | - x^{4} | \begin{array}{c} 1 & x^{2} \\ 1 & x^{4} \end{array} |$

Étape 2.2

Multipliez $x^{6}$ par $1$ .

$- x (x^{6} - x^{4}) + x^{2} | \begin{array}{c} 1 & x^{2} \\ 1 & x^{6} \end{array} | - x^{4} | \begin{array}{c} 1 & x^{2} \\ 1 & x^{4} \end{array} |$

Étape 3

Évaluez $| \begin{array}{c} 1 & x^{2} \\ 1 & x^{6} \end{array} |$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.1

Le déterminant d’une matrice $2 \times 2$ peut être déterminé en utilisant la formule $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

$- x (x^{6} - x^{4}) + x^{2} (1 x^{6} - x^{2}) - x^{4} | \begin{array}{c} 1 & x^{2} \\ 1 & x^{4} \end{array} |$

Étape 3.2

Multipliez $x^{6}$ par $1$ .

$- x (x^{6} - x^{4}) + x^{2} (x^{6} - x^{2}) - x^{4} | \begin{array}{c} 1 & x^{2} \\ 1 & x^{4} \end{array} |$

Étape 4

Évaluez $| \begin{array}{c} 1 & x^{2} \\ 1 & x^{4} \end{array} |$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.1

Le déterminant d’une matrice $2 \times 2$ peut être déterminé en utilisant la formule $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

$- x (x^{6} - x^{4}) + x^{2} (x^{6} - x^{2}) - x^{4} (1 x^{4} - x^{2})$

Étape 4.2

Multipliez $x^{4}$ par $1$ .

$- x (x^{6} - x^{4}) + x^{2} (x^{6} - x^{2}) - x^{4} (x^{4} - x^{2})$

Étape 5

Simplifiez le déterminant.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.1

Simplifiez chaque terme.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.1.1

Appliquez la propriété distributive.

$- x \cdot x^{6} - x (- x^{4}) + x^{2} (x^{6} - x^{2}) - x^{4} (x^{4} - x^{2})$

Étape 5.1.2

Multipliez $x$ par $x^{6}$ en additionnant les exposants.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.1.2.1

Déplacez $x^{6}$ .

$- (x^{6} x) - x (- x^{4}) + x^{2} (x^{6} - x^{2}) - x^{4} (x^{4} - x^{2})$

Étape 5.1.2.2

Multipliez $x^{6}$ par $x$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.1.2.2.1

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$- (x^{6} x^{1}) - x (- x^{4}) + x^{2} (x^{6} - x^{2}) - x^{4} (x^{4} - x^{2})$

Étape 5.1.2.2.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$- x^{6 + 1} - x (- x^{4}) + x^{2} (x^{6} - x^{2}) - x^{4} (x^{4} - x^{2})$

Étape 5.1.2.3

Additionnez $6$ et $1$ .

$- x^{7} - x (- x^{4}) + x^{2} (x^{6} - x^{2}) - x^{4} (x^{4} - x^{2})$

Étape 5.1.3

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$- x^{7} - 1 \cdot - 1 x \cdot x^{4} + x^{2} (x^{6} - x^{2}) - x^{4} (x^{4} - x^{2})$

Étape 5.1.4

Simplifiez chaque terme.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.1.4.1

Multipliez $x$ par $x^{4}$ en additionnant les exposants.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.1.4.1.1

Déplacez $x^{4}$ .

$- x^{7} - 1 \cdot - 1 (x^{4} x) + x^{2} (x^{6} - x^{2}) - x^{4} (x^{4} - x^{2})$

Étape 5.1.4.1.2

Multipliez $x^{4}$ par $x$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.1.4.1.2.1

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$- x^{7} - 1 \cdot - 1 (x^{4} x^{1}) + x^{2} (x^{6} - x^{2}) - x^{4} (x^{4} - x^{2})$

Étape 5.1.4.1.2.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$- x^{7} - 1 \cdot - 1 x^{4 + 1} + x^{2} (x^{6} - x^{2}) - x^{4} (x^{4} - x^{2})$

Étape 5.1.4.1.3

Additionnez $4$ et $1$ .

$- x^{7} - 1 \cdot - 1 x^{5} + x^{2} (x^{6} - x^{2}) - x^{4} (x^{4} - x^{2})$

Étape 5.1.4.2

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$- x^{7} + 1 x^{5} + x^{2} (x^{6} - x^{2}) - x^{4} (x^{4} - x^{2})$

Étape 5.1.4.3

Multipliez $x^{5}$ par $1$ .

$- x^{7} + x^{5} + x^{2} (x^{6} - x^{2}) - x^{4} (x^{4} - x^{2})$

Étape 5.1.5

Appliquez la propriété distributive.

$- x^{7} + x^{5} + x^{2} x^{6} + x^{2} (- x^{2}) - x^{4} (x^{4} - x^{2})$

Étape 5.1.6

Multipliez $x^{2}$ par $x^{6}$ en additionnant les exposants.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.1.6.1

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$- x^{7} + x^{5} + x^{2 + 6} + x^{2} (- x^{2}) - x^{4} (x^{4} - x^{2})$

Étape 5.1.6.2

Additionnez $2$ et $6$ .

$- x^{7} + x^{5} + x^{8} + x^{2} (- x^{2}) - x^{4} (x^{4} - x^{2})$

Étape 5.1.7

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$- x^{7} + x^{5} + x^{8} - x^{2} x^{2} - x^{4} (x^{4} - x^{2})$

Étape 5.1.8

Multipliez $x^{2}$ par $x^{2}$ en additionnant les exposants.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.1.8.1

Déplacez $x^{2}$ .

$- x^{7} + x^{5} + x^{8} - (x^{2} x^{2}) - x^{4} (x^{4} - x^{2})$

Étape 5.1.8.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$- x^{7} + x^{5} + x^{8} - x^{2 + 2} - x^{4} (x^{4} - x^{2})$

Étape 5.1.8.3

Additionnez $2$ et $2$ .

$- x^{7} + x^{5} + x^{8} - x^{4} - x^{4} (x^{4} - x^{2})$

Étape 5.1.9

Appliquez la propriété distributive.

$- x^{7} + x^{5} + x^{8} - x^{4} - x^{4} x^{4} - x^{4} (- x^{2})$

Étape 5.1.10

Multipliez $x^{4}$ par $x^{4}$ en additionnant les exposants.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.1.10.1

Déplacez $x^{4}$ .

$- x^{7} + x^{5} + x^{8} - x^{4} - (x^{4} x^{4}) - x^{4} (- x^{2})$

Étape 5.1.10.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$- x^{7} + x^{5} + x^{8} - x^{4} - x^{4 + 4} - x^{4} (- x^{2})$

Étape 5.1.10.3

Additionnez $4$ et $4$ .

$- x^{7} + x^{5} + x^{8} - x^{4} - x^{8} - x^{4} (- x^{2})$

Étape 5.1.11

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$- x^{7} + x^{5} + x^{8} - x^{4} - x^{8} - 1 \cdot - 1 x^{4} x^{2}$

Étape 5.1.12

Simplifiez chaque terme.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.1.12.1

Multipliez $x^{4}$ par $x^{2}$ en additionnant les exposants.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.1.12.1.1

Déplacez $x^{2}$ .

$- x^{7} + x^{5} + x^{8} - x^{4} - x^{8} - 1 \cdot - 1 (x^{2} x^{4})$

Étape 5.1.12.1.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$- x^{7} + x^{5} + x^{8} - x^{4} - x^{8} - 1 \cdot - 1 x^{2 + 4}$

Étape 5.1.12.1.3

Additionnez $2$ et $4$ .

$- x^{7} + x^{5} + x^{8} - x^{4} - x^{8} - 1 \cdot - 1 x^{6}$

Étape 5.1.12.2

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$- x^{7} + x^{5} + x^{8} - x^{4} - x^{8} + 1 x^{6}$

Étape 5.1.12.3

Multipliez $x^{6}$ par $1$ .

$- x^{7} + x^{5} + x^{8} - x^{4} - x^{8} + x^{6}$

Étape 5.2

Associez les termes opposés dans $- x^{7} + x^{5} + x^{8} - x^{4} - x^{8} + x^{6}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.2.1

Soustrayez $x^{8}$ de $x^{8}$ .

$- x^{7} + x^{5} - x^{4} + 0 + x^{6}$

Étape 5.2.2

Additionnez $- x^{7} + x^{5} - x^{4}$ et $0$ .

$- x^{7} + x^{5} - x^{4} + x^{6}$